Question

（文科）如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，E，F分别是棱A₁B₁，A₁D₁，B₁C₁，C₁D₁的中点，
求证：平面AMN∥平面EFDB．

Answer 1

【答案】分析：连接B₁D₁，NE，分别在△A₁B₁D₁中和△B₁C₁D₁中利用中位线定理，得到MN∥B₁D₁，EF∥B₁D₁，从而MN∥EF，然后用直线与平面平行的判定定理得到MN∥面BDEF．接下来利用正方形的性质和平行线的传递性，得到四边形ABEN是平行四边形，得到AN∥BE，直线与平面平行的判定定理得到AN∥面BDEF，最后可用平面与平面平行的判定定理，得到平面AMN∥平面EFDB，问题得到解决．
解答：证明：如图所示，连接B₁D₁，NE
∵M，N，E，F分别是棱A₁B₁，A₁D₁，B₁C₁，C₁D₁的中点
∴MN∥B₁D₁，EF∥B₁D₁
∴MN∥EF
又∵MN?面BDEF，EF?面BDEF
∴MN∥面BDEF
∵在正方形A₁B₁C₁D₁中，M，E，分别是棱 A₁D₁，B₁C₁的中点
∴NE∥A₁B₁且NE=A₁B₁
又∵A₁B₁∥AB且A₁B₁=AB
∴NE∥AB且NE=AB
∴四边形ABEN是平行四边形
∴AN∥BE
又∵AN?面BDEF，BE?面BDEF
∴AN∥面BDEF
∵AN?面AMN，MN?面AMN，且AN∩MN=N
∴平面AMN∥平面EFDB
点评：本题借助于正方体模型中的一个面面平行位置关系的证明，着重考查了三角形的中位线定理、线面平行的判定定理和面面平行的判定定理等知识点，属于基础题．