Question

10．设a，b，c∈（1，+∞），证明：2（$\frac{lo{g}_{b}a}{a+b}$+$\frac{lo{g}_{c}b}{b+c}$+$\frac{lo{g}_{a}c}{c+a}$≥$\frac{9}{a+b+c}$．

Answer 1

分析 利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a，b，c∈（1，+∞），
∴lga，lgb，lgc＞0．
∴（a+b+a+c+b+c）$（\frac{lga}{（a+b）lgb}+\frac{lgb}{（b+c）lgc}+\frac{lgc}{（c+a）lga}）$≥3$\root{3}{（a+b）（a+c）（b+c）}$•3$\root{3}{\frac{lga}{（a+b）lgb}•\frac{lgb}{（b+c）lgc}•\frac{lgc}{（c+a）lga}}$=9，当且仅当a=b=c＞1时取等号．
∴2（$\frac{lo{g}_{b}a}{a+b}$+$\frac{lo{g}_{c}b}{b+c}$+$\frac{lo{g}_{a}c}{c+a}$≥$\frac{9}{a+b+c}$．

点评 本题查克拉基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．