Question

18．若函数f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意x，y∈R⁺，都有f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），且x＞1时，f（x）＜0（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性，并证明．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，结合条件即可得到f（1）的值；
（2）f（x）在（0，+∞）上为减函数．设0＜m＜n，即$\frac{n}{m}$＞1，由条件，可得f（m），f（n）的大小，由单调性的定义即可得到．

解答 解：（1）令x=y=1，由f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），
可得f（1）=f（1）-f（1），
即有f（1）=0；
（2）函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，
证明：设0＜m＜n，即$\frac{n}{m}$＞1，
由x＞1时，f（x）＜0，可得f（$\frac{n}{m}$）＜0，
由f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），
可得f（n）-f（m）＜0，即f（n）＜f（m），
则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数．

点评 本题考查抽象函数的单调性的判断和证明，同时考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于基础题．