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如图,某新建小区有一片边长为1(单位:百米)的正方形剩余地块ABCD,中间部分MNK是一片池塘,池塘的边缘曲线段MN为函数数学公式数学公式的图象,另外的边缘是平行于正方形两边的直线段.为了美化该地块,计划修一条穿越该地块的直路(宽度不计),直路l与曲线段MN相切(切点记为P),并把该地块分为两部分.记点P到边AD距离为t,f(t)表示该地块在直路左下部分的面积.
(1)求f(t)的解析式;
(2)求面积S=f(t)的最大值.

解:(1)因为,所以,又P(t,),
所以过点P的切线方程为,即
令x=0,得,令y=0,得x=2t.
所以切线与x轴交点E(2t,0),切线与y轴交点
①当,即时,切线左下方的区域为一直角三角形,
所以
②当,即时,切线左下方的区域为一直角梯形,

③当,即时,切线左下方的区域为一直角梯形,
所以
综上
(2)当时,=
时,=
所以
所以面积S=f(t)的最大值为
分析:(1)求出函数的导函数,写出经过P(t,)的切线方程并得到切线在两坐标轴上的截距,然后根据两截距与1的关系对t分类,求出t在不同范围内的切线左下方的面积,则分段函数的解析式可求;
(2)直接利用二次函数的单调性求各区间段内函数的最值,然后各段内最大值的最大者.
点评:本题考查了函数模型的选择与应用,考查了分类讨论的数学思想方法,训练了利用二次函数的单调性求函数的最值,需要注意的是分段函数的最值要分段求,属中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•徐州模拟)如图,某新建小区有一片边长为1(单位:百米)的正方形剩余地块ABCD,中间部分MNK是一片池塘,池塘的边缘曲线段MN为函数y=
2
9x
(
1
3
≤x≤
2
3
)
的图象,另外的边缘是平行于正方形两边的直线段.为了美化该地块,计划修一条穿越该地块的直路(宽度不计),直路l与曲线段MN相切(切点记为P),并把该地块分为两部分.记点P到边AD距离为t,f(t)表示该地块在直路左下部分的面积.
(1)求f(t)的解析式;
(2)求面积S=f(t)的最大值.

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年江苏省苏州市张家港外国语学校高二(上)周日数学试卷11(理科)(解析版) 题型:解答题

如图,某新建小区有一片边长为1(单位:百米)的正方形剩余地块ABCD,中间部分MNK是一片池塘,池塘的边缘曲线段MN为函数的图象,另外的边缘是平行于正方形两边的直线段.为了美化该地块,计划修一条穿越该地块的直路(宽度不计),直路l与曲线段MN相切(切点记为P),并把该地块分为两部分.记点P到边AD距离为t,f(t)表示该地块在直路左下部分的面积.
(1)求f(t)的解析式;
(2)求面积S=f(t)的最大值.

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科目:高中数学 来源:2011年江苏省徐州市高三第三次质量检测数学试卷(解析版) 题型:解答题

如图,某新建小区有一片边长为1(单位:百米)的正方形剩余地块ABCD,中间部分MNK是一片池塘,池塘的边缘曲线段MN为函数的图象,另外的边缘是平行于正方形两边的直线段.为了美化该地块,计划修一条穿越该地块的直路(宽度不计),直路l与曲线段MN相切(切点记为P),并把该地块分为两部分.记点P到边AD距离为t,f(t)表示该地块在直路左下部分的面积.
(1)求f(t)的解析式;
(2)求面积S=f(t)的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(本题满分16分)

如图,某新建小区有一片边长为1(单位:百米)的正方形剩余地块ABCD,中间部分MNK是一片池塘,池塘的边缘曲线段MN为函数的图象,另外的边缘是平行于正方形两边的直线段。为了美化该地块,计划修一条穿越该地块的直路(宽度不计),直路与曲线段MN相切(切点记为P),并把该地块分为两部分。记点P到边AD距离为表示该地块在直路左下部分的面积。

(1)求的解析式;

(2)求面积的最大值。

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