Question

已知命题P：“函数y=

x+m

x+1

在（-1，+∞）上单调递增．”命题Q：“幂函数y=xm2-2m-3在（0，+∞）上单调递减”．
（1）若命题P和命题Q同时为真，求实数m的取值范围；
（2）若命题P和命题Q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题设知P：m＜1，Q：-1＜m＜3，由此能求出当命题P和命题Q同时为真时，实数m的取值范围．
（2）当命题P和命题Q有且仅有一个真时，P真Q假，或P假Q真，由此能求了若命题P和命题Q有且只有一个真命题时，实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵命题P：“函数y=

x+m

x+1

在（-1，+∞）上单调递增．”
命题Q：“幂函数y=xm2-2m-3在（0，+∞）上单调递减”．
∴P：m＜1，Q：-1＜m＜3，
∴当命题P和命题Q同时为真时，实数m的取值范围是：-1＜m＜1．
（2）当命题P和命题Q有且仅有一个真时，P真Q假，或P假Q真，
当P真Q假时，

m＜1 m≤-1，或m≥3

，
解得实数m的取值范围是：m≤-1．
当P真Q假时，

m≥1 m＜-1，或m≥3

，
解得实数m的取值范围是：1≤m≤3．
综上所述，若命题P和命题Q有且只有一个真命题，
实数m的取值范围（-∞，-1]∪[1，3]．

点评：本题考查复合命题的真假，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．