Question

已知斜率为

3

的直线l过点（0，-2

3

）和椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P，Q，R都在椭圆C上，PQ、PR分别过点M₁（-1，0）、M₂（1，0），设

PM1

=λ

M1Q

，

PM2

=μ

M2R

，当P点在椭圆C上运动时，试问λ+μ是否为定值，并请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用点斜式即可得出直线l的方程，令y=0即可得出椭圆的焦点（c），利用轴对称的性质即可得出原点关于l的对称点，利用准线方程x=

a2

c

即可得出a，再利用b²=a²-c²即可；
（2）设P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
i）当x₀=x₁=-1时，ii）当x₀=x₂=-1时，容易得出λ+μ的值为定值；
iii）当x₀≠x₁且x₀≠x₂时，利用向量运算及相等可得x₁，y₁与x₀，y₀及λ的关系，同理得到x₂，y₂与x₀，y₀及μ的关系，再代入椭圆的方程即可得出．

解答：解：（1）由题意可得直线l：y=

3

x-2

3

，令y=0，解得x=2，∴c=2．
∴椭圆的焦点为（±2，0），
设原点关于l的对称点为（x，y），
则

y x =- 3 3 y 2 = 3 ( x 2 -2)

，解得x=3，即

a2

c

=3，a²=6，∴b²=a²-c²=2．
∴椭圆的方程为

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）设P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
i）当x₀=x₁=-1时，P(-1，

15

3

)，Q(-1，-

15

3

)，xR=-

19

9

，λ+μ=

14

5

ii）同理当x₀=x₂=-1时，λ+μ=

14

5

iii）当x₀≠x₁且x₀≠x₂时，
由题意得

-1-x0=λ(x1+1) -y0=λy1

⇒

x1= -1-x0 λ -1 y1= -y0 λ

代入椭圆方程

( -1-x0 λ -1)2

6

+

( -y0 λ )2

2

=1，即(x0+1+λ)2+3

y

2 0

=6λ2，
又

x 2 0

6

+

y 2 0

2

=1，有(x0+1+λ)2+6-

x

2 0

=6λ2，
即5λ²-（2x₀+2）λ+2x₀+7=0（5λ-2x₀-7）（λ-1）=0，λ=

2x0+7

5

同理可得μ=

7-2x0

5

，
∴λ+μ=

14

5

．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、轴对称的性质、点在椭圆上转化为点的坐标适合题意的方程、向量的运算与相等等是解题的关键．