Question

x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²-2（m-1）x+m²+1=0的两个实根，又f（x）=x₁²+x₂²
求：（1）求函数y=f（m）的解析式及定义域
（2）求函数y=f（m）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据韦达定理根与系数的关系，求出函数的解析式；根据△≥0，求出函数的定义域；
（2）对函数的解析式配方，判断函数在（-∞，0]上单调递减，从而求出函数的最小值．

解答：解：（1）f（m）=(x1+x2)2-2x₁x₂=4（m-1）²-2（m²+1）=2m²-8m+2；
△=4（m-1）²-4（m²+1）=-8m≥0⇒m≤0，
∴函数的定义域为{m|m≤0}；
（2）∵f（m）=2（m-2）²-6，
∴函数在（-∞，0]上单调递减，
∴f（m）≥f（0）=2，
故函数的最小值为2．

点评：本题考查了函数的定义域及求法，函数的解析式及求法，考查了利用函数的单调性求最值，考查了韦达定理的应用，体现了函数思想．