Question

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）-（k-1）x（x∈R）为偶函数．
（1）求常数k的值；
（2）当x取何值时函数f（x）的值最小？并求出f（x）的最小值；
（3）设g(x)=log4(a•2x-

4

3

a)（a≠0），且函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直接利用偶函数的定义即f（-x）=f（x）对所有x∈R都成立，代入整理即可求常数k的值；
（2）先利用（1）的结论对函数进行转化，再利用基本不等式求出真数的取值范围，代入原函数即可求出f（x）的最小值；
（3）把两方程联立，转化为求对应方程只有一个根时满足的条件即可．（注意本题涉及到对数形式，须满足真数大于0这一条件）．

解答：解：（1）∵f（x）为偶函数，
故log₄（4^-x+1）+（k-1）x=log₄（4^x+1）-（k-1）x对所有x∈R都成立，（2分）
即（2k-3）x=0对所有x∈R都成立，
∴k=

3

2

．（4分）
（2）由（1）得f(x)=log4(4x+1)-

x

2

，即f(x)=log4

4x+1

2x

．（2分）
log4(2x+

1

2x

)≥log42=

1

2

，
故当且仅当x=0时，（3分）
f（x）的最小值是

1

2

．（5分）
（3）由方程log4(4x+1)-

x

2

=log4(a•2x-

4

3

a)（*）
可变形为

4x+1 2x =a•2x- 4 3 a① a•2x- 4 3 a＞0②

，由②得

a＞0 2x＞ 4 3

或

a＜0 2x＜ 4 3

，
令2^x=t，则

a＞0 t＞ 4 3

，或

a＜0 0＜t＜ 4 3

由①得(a-1)(2x)2-

4

3

a•2x-1=0，设h(t)=(a-1)t2-

4

3

at-1（2分）
∴当a＞0时，(a-1)h(

4

3

)＜0?a＞1，（4分）
当a＜0时，h（0）=-1＜0，
∴h(

4

3

)＞0?a不存在，
当△=(-

4

3

a)2+4(a-1)=0时，a=

3

4

或a=-3，
若a=

3

4

，则t=-2，不合题意，舍去，若a=-3，则t=

1

2

，满足题意，（5分）
∴当a=-3或a＞1时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点．（7分）

点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用以及函数与方程的综合问题．其中涉及到对数形式，在做题时一定要注意须满足真数大于0这一条件，这是易错点．