Question

把正整数排列成三角形数阵（如图甲），然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到新的三角形数阵（如图乙），再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a_n}，则a₁₀₀=

186

Answer 1

分析：观察图乙中的事三角形数阵，发现第K（K是正整数）行最后一个数对应的序号是

K(K+1)

2

，然后解不等式100≤

K(K+1)

2

，得到符合题意的最小整数K=14，由此可得a₁₀₀应该在第14行．再观察数阵甲中与数阵乙中每行的首项数是相同的，不难由数阵甲得出第14行的第一个数，再转到数阵乙中找出a₁₀₀即可．

解答：解：设图乙中第K行的最后一个数对应的序号为X_K，不难由等差数列的求和公式得出
X_K=

K(K+1)

2

，（K=1，2，3，…）
解不等式100≤

K(K+1)

2

，得最小正整数K=14，
说明a₁₀₀在数阵乙的第14行，并且可以算得是第14行的第9个数
又因为数阵甲中与数阵乙中每行的首项数是相同的，在数阵甲中的每一行第一个数有如下规律：
2-1=1
5-2=3
10-5=5
…
b₁₄-b₁₃=2×13-1=25
累加，得b₁₄-1=1+3+5+…+25=169，所以b₁₄=170
数阵乙的第14行的第一个数也是170，往后数到第9项，按递增2的规律得：a₁₀₀=170+2×8=186
故答案为：186

点评：本题以等差数列的三角形数阵为载体，考查了数列在实际生活中的应用，属于难题．观察对比两图形中的相同点与不同点，合理利用这此关系并结合等差数列的求和公式与通项公式，是解决本问题的关键．