Question

15．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁⊥底面ABCD，ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，E，F分别是A₁C，A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求证：D₁E∥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求证：BC⊥A₁C；
（Ⅲ）若A₁A=AB，求DF与平面A₁ADD₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （ I）连结D₁F，EF，B₁C，通过证明EF∥CB₁．A₁B₁∥D₁C₁，说明四边形C₁D₁FB₁为平行四边形，证明平面D₁EF∥平面BB₁C₁C，然后证明D₁E∥平面BB₁C₁C．
（ II）连结AC，证明BC⊥AC．A₁A⊥BC．推出BC⊥平面A₁AC，即可证明BC⊥A₁C．
（ III）取A₁D₁的中点G，连结FG，推出FG⊥平面A₁ADD₁．连结DG，说明∠FDG为直线DF与平面A₁ADD₁所成的角．在Rt△FDG中，求解即可．

解答 （本小题满分13分）
（ I）证明：连结D₁F，EF，B₁C，因为EF是△A₁CB₁的中位线，所以EF∥CB₁．
因为AB∥DC，所以A₁B₁∥D₁C₁，又因为AB=2AD=2，∠ABC=60°，可求D₁C₁=1，故D₁C₁=FB₁，所以四边形C₁D₁FB₁为平行四边形，
所以D₁F∥C₁B₁，又因为EF∩D₁F=F，CB₁∩C₁B₁=B₁，
所以平面D₁EF∥平面BB₁C₁C，又因为D₁E?平面D₁EF．
所以D₁E∥平面BB₁C₁C．…．（4分）

（ II）证明：连结AC，在等腰△ADC中可求AC=$\sqrt{3}$，
又因为BC=1，AB=2，所以AC²+BC²=AB²，所以BC⊥AC．
又四棱柱是直四棱柱，故A₁A⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以A₁A⊥BC．
因为A₁A∩AC=A，所以BC⊥平面A₁AC，A₁C?平面A₁AC，
所以BC⊥A₁C                 …．（8分）
（ III）解：取A₁D₁的中点G，连结FG，由已知可知△A₁D₁F为正三角形，
故FG⊥A₁D₁，
又因为四棱柱是直四棱柱，所以平面A₁D₁F⊥平面A₁ADD₁，
所以FG⊥平面A₁ADD₁．
连结DG，则∠FDG为直线DF与平面A₁ADD₁所成的角．
在Rt△FDG中，$FG=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，DG=\frac{{\sqrt{17}}}{2}$，故$DF=\sqrt{5}$，
所以$sin∠FDG=\frac{FG}{DF}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{10}$．                  …（13分）

点评 本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直的判断与性质，直线与平面孙传庭的求法，考查空间想象能力以及计算能力．