【题目】已知椭圆E:
的一个焦点为
,长轴与短轴的比为2:1.直线
与椭圆E交于PQ两点,其中
为直线
的斜率.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若以线段PQ为直径的圆过坐标原点O,问:是否存在一个以坐标原点O为圆心的定圆O,不论直线的斜率取何值,定圆O恒与直线相切?如果存在,求出圆O的方程及实数m的取值范围;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1) 
(2)存在,
.
的取值范围是
【解析】
（1）根据题意直接计算出
得到答案.
（2）设直线OP的方程为:
点的坐标为
,则
,联立方程组
，设坐标原点O到直线
的距离为d,则有
，得到
，计算得到答案.
(1)由已知得:
解得:
椭圆E的方程为
(2)假设存在定圆O,不论直线的斜率k取何值时,定圆O恒与直线相切.
这时只需证明坐标原点O到直线的距离为定值即可.
设直线OP的方程为:点的坐标为,则,
联立方程组
①
以线段PQ为直径的圆过坐标原点O,
,直线OQ的方程为:
在①式中以
换t,得
②
又由
知:
设坐标原点O到直线的距离为d,则有
又当直线OP与
轴重合时,
此时
由坐标原点O到直线的距离为定值知,所以存在定圆O,不论直线的斜率k取何值时,定圆O恒与直线相切,定圆O的方程为:.
直线与轴交点为
,且点不可能在圆O内,又当k=0时,直线与定圆O切于点
,所以的取值范围是
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【题目】已知椭圆C:
l(a>b>0)经过点(
,1),且离心率e
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l与椭圆C相交于AB两点,且满足∠AOB=90°(O为坐标原点),求|AB|的取值范围.
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【题目】已知数列
的前
项和为
，
满足
，且
．正项数列
满足
，其前7项和为42．
（1）求数列和的通项公式；
（2）令
，数列
的前项和为
，若对任意正整数，都有
，求实数
的取值范围；
（3）将数列，的项按照“当为奇数时，
放在前面；当为偶数时，
放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，…，求这个新数列的前项和
．
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【题目】如图，已知
为等边三角形，
为等腰直角三角形，
.平面
平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且
，
.点F为AD中点，连接EF.
（1）求证：
平面ABC；
（2）求证：平面
平面ABD.
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【题目】如图1，在等腰
中，
，
，
分别为
，
的中点，
为
的中点，
在线段
上，且
。将
沿
折起，使点
到
的位置（如图2所示），且
。
（1）证明：
平面
；
（2）求平面与平面
所成锐二面角的余弦值
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【题目】设定义在
上的函数
满足：对任意的
，当
时，都有
.
（1）若
，求实数
的取值范围；
（2）若为周期函数，证明：是常值函数；
（3）若
①记
，求数列
的通项公式；
②求
的值.
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【题目】椭圆C：
过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如果直线l的斜率等于-1，求出k1k2的值；
（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．
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