Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点．（14分）
（1）证明：EB∥平面PAD；
（2）若PA=AD，证明：BE⊥平面PDC．

Answer 1

分析：（1）欲证EB∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EB与平面PAD内一直线平行，取PD的中点F，连接FA，FE，根据中位线定理可知EF∥AB，EF=AB，从而ABEF是平行四边形，则EB∥FA，EB?平面PAD，FA?平面PAD，满足定理所需条件；
（2）欲证BE⊥平面PDC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BE与平面PDC内两相交直线垂直，而BE∥AF，可先证
AF⊥平面PDC，而AF⊥PD，PD∩CD=D，PD?平面PDC，CD?平面PDC，满足线面垂直的判定定理，问题得证．

解答：证明 （1）取PD的中点F，连接FA，FE，则EF为△PDC的中位线．
∴EF∥CD，EF=

1

2

CD．∵BA⊥AD，CD⊥AD．∴AB∥CD∵CD=2AB，∴AB=

1

2

CD．
∴EF∥AB，EF=AB．∴ABEF是平行四边形．
∴EB∥FA．∵EB?平面PAD，FA?平面PAD∴EB∥平面PAD（6分）
（2）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD
∴PA⊥CD∵CD⊥AD，PA∩AD=A
PA?平面PAD，AD?平面PAD
∴CD⊥平面PAD，∵AF?平面PAD
∴CD⊥AF．
∵PA=AD，PF=FD∴AF⊥PD．
∵PD∩CD=D，PD?平面PDC，CD?平面PDC
∴AF⊥平面PDC．由（1）可知，BE∥AF
∴BE⊥平面PDC??

点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．本题可采用方法②，属于中档题．