Question

8．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得c-$\frac{{a}^{2}}{c}$=2a，化简整理，结合离心率公式，即可得到所求值．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的焦点（c，0）到相应准线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$的距离等于实轴长2a，
可得c-$\frac{{a}^{2}}{c}$=2a，即c²-2ac-a²=0，
解得c=（1+$\sqrt{2}$）a或c=（1-$\sqrt{2}$）a（舍去），
即有离心率e=$\frac{c}{a}$=1+$\sqrt{2}$．
故答案为：1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的几何性质的运用，主要考查准线和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．