Question

15、（文科做）垂直于直线2x-6y+1=0，且与曲线y=x³+3x²-1相切的直线方程是（　　）

A、3x+y+2=0

B、3x-y+2=0

C、3x+y-2=0

D、3x-y-2=0

Answer 1

分析：根据已知直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出所求直线的斜率，然后求出曲线方程的导函数，令导函数值等于求出的斜率，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到切点的横坐标，把切点的横坐标代入曲线方程求出切点的纵坐标，确定出切点坐标，根据求出的切线斜率及切点坐标写出所求的直线方程．

解答：解：因为所求直线垂直于直线2x-6y+1=0，所以其斜率为k=-3，
又由曲线y=x³+3x²-1求导数得y'=3x²+6x，
由3x²+6x=-3，解得x=-1，
则切点为（-1，1），
所以切线方程为y-1=-3（x+1），即3x+y+2=0，
故选A．

点评：此题考查了利用导数求切线上某地切线方程的斜率，以及掌握两直线垂直时斜率满足的关系．掌握切点的横坐标对应的导函数值为切线方程的斜率是解本题的关键．