Question

（2011•沈阳二模）如图，△ABC中，sin

∠ABC

2

=

3

3

，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=

4 3

3

．（Ⅰ）求：BC的长；（Ⅱ）求△DBC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由sin

∠ABC

2

的值，利用二倍角的余弦函数公式即可求出cos∠ABC的值，设BC=a，AC=3b，由AD=2DC得到AD=2b，DC=b，在三角形ABC中，利用余弦定理得到关于a与b的关系式，记作①，在三角形ABD和三角形DBC中，利用余弦定理分别表示出cos∠ADB和cos∠BDC，由于两角互补，得到cos∠ADB等于-cos∠BDC，两个关系式互为相反数，得到a与b的另一个关系式，记作②，①②联立即可求出a与b的值，即可得到BC的值；
（Ⅱ）由角ABC的范围和cos∠ABC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin∠ABC的值，由AB和BC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积，由AD=2DC，且三角形ABD和三角形BDC的高相等，得到三角形BDC的面积等于三角形ABC面积的

1

3

，进而求出三角形BDC的面积．

解答：解：（Ⅰ）因为sin

∠ABC

2

=

3

3

，所以cos∠ABC=1-2sin2

∠ABC

2

=1-2×

1

3

=

1

3

．（2分）
在△ABC中，设BC=a，AC=3b，
由余弦定理可得：9b2=a2+4-

4

3

a ①（5分）
在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得：
cos∠ADB=

4b2+ 16 3 -4

16 3 3 b

，cos∠BDC=

b2+ 16 3 -a2

8 3 3 b

．（7分）
因为cos∠ADB=-cos∠BDC，所以有

4b2+ 16 3 -4

16 3 3 b

=-

b2+ 16 3 -a2

8 3 3 b

，所以3b²-a²=-6 ②
由①②可得a=3，b=1，即BC=3．（9分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cos∠ABC=

1

3

，则sin∠ABC=

1-( 1 3 )2

=

2 2

3

，又AB=2，BC=3，
则△ABC的面积为

1

2

AB•BCsin∠ABC=

1

2

×2×3×

2 2

3

=2

2

，
又因为AD=2DC，所以△DBC的面积为

1

3

×2

2

=

2 2

3

．（12分）

点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及余弦定理化简求值，灵活运用三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．