精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
不等式选讲
设x,y,z为正数,证明:2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y).
【答案】分析:先将2(x3+y3+z3)分解成(x3+y3)+(z3+x3)+(y3+z3),再对每一组利用基本不等式进行放缩即得.
解答:证明:因为x2+y2≥2xy≥0(2分)
所以x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)≥xy(x+y)(4分)
同理y3+z3≥yz(y+z),z3+x3≥zx(z+x)(8分)
三式相加即可得2(x3+y3+z3)≥xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)
又因为xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)=x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y)
所以2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y)
点评:本题主要考查不等式的证明,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式,这个证明方法叫综合法.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

选修4-5:不等式选讲
设x,y,z∈(0,+∞),且x+y+z=1,求
1
x
+
4
y
+
9
z
的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

4、不等式选讲
设x,y,z为正数,证明:2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011年高考数学总复习备考综合模拟试卷(4)(解析版) 题型:解答题

选修4-5:不等式选讲
设x,y,z∈(0,+∞),且x+y+z=1,求++的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010年江苏省南京市高三数学附加题(解析版) 题型:解答题

不等式选讲
设x,y,z为正数,证明:2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y).

查看答案和解析>>

同步练习册答案