Question

已知f（x）=m-

1

1+ax

（a＞0且a≠1，x∈R）满足f（-x）=-f（x）
（1）求m的值；
（2）当a=2时，求f（1）的值，并解不等式0＜f（x²-x-2）＜

1

6

（3）沿着射线y=-x（x≥0）的方向将f（x）的图象平移

2

2

个单位，得到g（x）的图象，求g（x）并求g（-2）+g（-1）+g（0）+g（1）+g（2）+g（3）的值．

Answer 1

分析：（1）利用函数是奇函数的条件进行求值．（2）利用函数的单调性解不等式．（3）利用条件得到一个关系式，利用关系式进行求值．

解答：解：（1）因为f（-x）=-f（x），所以函数为奇函数，所以f(0)=m-

1

2

=0，解得m=

1

2

．
（2）当a=2时，f(x)=

1

2

-

1

1+2x

，所以f(1)=

1

2

-

1

3

=

1

6

．
根据指数函数的性质可知函数f(x)=

1

2

-

1

1+2x

，在R上单调递增．
所以由0＜f（x²-x-2）＜

1

6

，得0＜f（x²-x-2）＜f（1），
即0＜x²-x-2＜1，
解得

1- 3

2

＜x＜-1或2＜x＜

1+ 3

2

，
所以不等式的解集为得{x|

1- 3

2

＜x＜-1或2＜x＜

1+ 3

2

}．
（3）根据题意可知g（x）=-

a

a +ax

，并且满足g（x）+g（1-x）=-1，
所以g（-2）+g（-1）+g（0）+g（1）+g（2）+g（3）=-3．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的应用，考查学生的运算能力．