Question

点P在曲线y=x3-x+

2

3

上移动时，过点P的切线的倾斜角的取值范围是（　　）

• A．[0，π）
• B．(0，

  π

  2

  )∪[

  3π

  4

  ，π)
• C．[0，

  π

  2

  )∪(

  π

  2

  ，

  3π

  4

  ]
• D．[0，

  π

  2

  )∪[

  3π

  4

  ，π)

Answer 1

分析：根据导数的几何意义可知切线的斜率即为该点处的导数，再根据导数的取值范围求出斜率的范围，最后再根据斜率与倾斜角之间的关系k=tanα，求出α的范围即可．

解答：解：设点P处切线的倾斜角为α，
∵tanα=3x²-1，
∴tanα∈[-1，+∞）．
当tanα∈[0，+∞）时，α∈[0，

π

2

）；
当tanα∈[-1，0）时，α∈[

3π

4

，π）．
∴α∈[0，

π

2

）∪[

3π

4

，π）．
故选D．

点评：此题考查了利用导数研究曲线上某点切线的方程，直线倾斜角与斜率的关系，以及正切函数的图象与性质．要求学生掌握导函数在某点的函数值即为过这点切线方程的斜率，且直线的斜率为倾斜角的正切值，掌握正切函数的图象与性质．