Question

平面上有四点，连接其中的两点的一切直线中的任何两条直线不重合、不平行、不垂直，从每一点出发，向其他三点作成的一切直线作垂线，则这些垂线的交点个数最多为（ ）
A．66
B．60
C．52
D．44

Answer 1

【答案】分析：本题得从正面利用分类原理分类来做，先先研究从共A点的三条垂线与从它三点出发的垂线的交点个数，再求出与垂线的交点的个数，对其它点可用同理求出，最后加在一起．
解答：解：先研究从共A点的三条垂线与从它三点出发的垂线的交点个数是：从A点出发的三个垂线有1个交点，
从A点出发的三个垂线与从B点出发的三个垂线中各有一条线与CD垂直，故从A出发的与CD垂直的直线与B点出发的三个垂线有两个交点，从A点出发的另两个垂线与B点出发的三个垂线各有三个交点，故从A，B出发的垂线的交点个数为2+3+3=8，
同理从A，C； A，D出发的垂线的交点个数也为2+3+3=8，
从B，D；B，C；C，D出发的垂线交点个数也为8个，而各点出发的三条垂线本身一个交点，由此各得1+1+1+1+8×6=52．
故选C．
点评：本题考查了计数原理在平面几何中的应用，根据题意排除法不易做，正面利用分类原理虽然麻烦，但是不易出错，注意按一定顺序去求，考查了分析和解决问题的能力．