Question

【题目】已知函数.

(I) 求极大值；

(II) 求证：，其中, ．

(III)若方程有两个不同的根, 求证:

Answer 1

【答案】（Ⅰ）极大值是(II)见解析(III)见解析

【解析】

（Ⅰ）对函数进行求导，让导函数为零，求出根，列表，判断极值情况，最后求出极大值；

(II) 法一：根据（Ⅰ）可以得到函数的最大值，结合求证的式子左右两边形式，能得到一个不等式， 然后累和，命题得证；

法二：有关正整数的命题，可以采用数学归纳法来证明。

(III)由（Ⅰ）可知，方程有两个不同的零点,能得到 用分析法证明时，需要构造一个新函数，利用新函数的单调性，证明分析法需要证明的不等式成立。

解：（Ⅰ）, 解得

	递增	极大值	递减

极大值是

(II) 法一：，

由（Ⅰ）得：在处取得极大值1，且该极值是唯一的，

则，即，当且仅当时取“=”，

故当时，，

因此．

法二：下面用数学归纳法证明：，对恒成立．

（1）当时，左边，右边，

左边右边，结论成立；

（2）假设当时，结论成立，即，

当时，左边

，

而 ，

，

由（Ⅰ）得：在处取得极大值1，且该极值是唯一的，

则，即，当且仅当时取“=”，

则对恒成立，即

成立

故当时，结论成立，

因此，综合（1）（2）得，对恒成立

（III） 由（Ⅰ）知方程有两个不同的零点,

则

分析法: 要证

令函数,

由得

在上递增,

即成立, 由上知成立.