已知双曲线-=1(b∈N*)的左.右两个焦点为F1.F2,P是双曲线上的一点,且满足|PF1||PF2|=|F1F2|2,|PF2|<4.(1)求b的值;(2)抛物线y2=2px的焦点与该双曲线的右顶点重合,斜率为1的直线经过右顶点,与该抛物线交于A.B两点,求弦长|AB|. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知双曲线-=1(b∈N^*)的左、右两个焦点为F₁、F₂,P是双曲线上的一点,且满足|PF₁||PF₂|=|F₁F₂|²,|PF₂|<4.
(1)求b的值;
(2)抛物线y²=2px(p>0)的焦点与该双曲线的右顶点重合,斜率为1的直线经过右顶点,与该抛物线交于A、B两点,求弦长|AB|.

(1) b=1 (2)16

解析解:(1)根据题意a²=4,a=2,又a²+b²=c²,
||PF₁|-|PF₂||=2a=4,
|PF₁|·|PF₂|=|F₁F₂|²=4c²,|PF₂|<4,
得|PF₂|²+4|PF₂|-4c²=0在区间(0,4)上有解,
所以c²<8,因此b²<4,
又b∈N^*,所以b=1.
(2)双曲线方程为-y²=1,右顶点坐标为(2,0),
所以抛物线方程为y²=8x,①
直线方程为y=x-2,②
由①②两式联立,解得
和
所以弦长|AB|==16.

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④如图，若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确的是(　　)