Question

7．已知$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夹角为$\frac{π}{3}$的单位向量，若$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，则向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{3\sqrt{13}}{26}$

Answer 1

分析 由条件即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{3}{2}$，而根据$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{（2\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}}$即可求出$|\overrightarrow{b}|$的值，而可得到$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$，从而求出该投影的值．

解答 解：根据条件：
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=（\overrightarrow{{e}_{1}}+3\overrightarrow{{e}_{2}}）•（2\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}）$
=$2{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+5\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}-3{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$
=$2+\frac{5}{2}-3$
=$\frac{3}{2}$；
$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{（2\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}}$
=$\sqrt{4{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}-4\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}}$
=$\sqrt{4-2+1}$
=$\sqrt{3}$；
∴$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为：
$|\overrightarrow{a}|•cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=|\overrightarrow{a}|•\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$
=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$
=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选B．

点评 考查单位向量的概念，向量数量积的运算及计算公式，根据$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{{\overrightarrow{b}}^{2}}$求$|\overrightarrow{b}|$的方法，以及投影的定义及计算公式．