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设数列{an}的前n项和为Sn
(1)若数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,求常数m,t的值,使Sn=man+t对一切大于零的自然数n都成立.
(2)若数列{an}是首项为a1,公差d≠0的等差数列,证明:存在常数m,t,b使得Sn=man2+tan+b对一切大于零的自然数n都成立,且t=
1
2

(3)若数列{an}满足Sn=man2+tan+b,n∈N+,m、t、b(m≠0)为常数,且Sn≠0,证明:当t=
1
2
时,数列{an}为等差数列.
考点:数列的应用,数列的求和
专题:综合题,等差数列与等比数列
分析:(1)利用等比数列的求和公式,即可求常数m,t的值;
(2)确定n=
an-a1
d
+1
,利用Sn=man2+tan+b对一切大于零的自然数n都成立,且t=
1
2
,即可得出结论;
(3)由题知Sn-Sn-1=an,可得m(an2-an-12)-
1
2
(an+an-1)=0
,即可证明结论.
解答: 解:(1)Sn=
a1-qan
1-q
=
1-2an
1-2
=2an-1

所以m=2,t=-1(4分)
(2)在等差数列{an}中,an=a1+(n-1)d,所以n=
an-a1
d
+1
Sn=na1+
1
2
n(n-1)d=(
an-a1
d
+1)a1+
1
2
(
an-a1
d
+1)(
an-a1
d
)d
=
1
2d
an2+
1
2
an+
a1
2
-
a12
2d

所以存在m=
1
2d
d=
1
2
b=
a1
2
-
a12
2d
使得命题成立(6分)
(3)由题知Sn-Sn-1=an
m(an2-an-12)-
1
2
(an+an-1)=0

(an+an-1)[m(an-an-1)-
1
2
]=0

若an+an-1=0,则S2=0,与题设矛盾
所以m(an-an-1)=
1
2
,m≠0,得an-an-1=
1
2m

所以数列{an}为等差数列(6分)
点评:本题考查数列的应用,考查等差数列的求和公式,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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D、p1=p2=p3

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