Question

如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数解析式，定义域，并求出周长的最大值．

Answer 1

分析：作DE⊥AB于E，连接BD，根据相似关系求出AE，而CD=AB-2AE，从而求出梯形ABCD的周长y与腰长x间的函数解析式，根据AD＞0，AE＞0，CD＞0，可求出定义域；利用二次函数在给定区间上求出最值的知识可求出函数的最大值．

解答：解：如图，作DE⊥AB于E，连接BD．
因为AB为直径，所以∠ADB=90°．
在Rt△ADB与Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，
所以Rt△ADB∽Rt△AED．
所以

AD

AB

=

AE

AD

，即AE=

AD2

AB

．
又AD=x，AB=4，所以AE=

x2

4

．
所以CD=AB-2AE=4-

x2

2

，
于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4-

x2

2

+x=-

1

2

x2+2x+8
由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，

x2

4

＞0，4-

x2

2

＞0，
解得0＜x＜2

2

，
故所求的函数为y=-

1

2

x2+2x+8（0＜x＜2

2

）
y=-

1

2

x2+2x+8=-

1

2

（x-2）²+10，
又0＜x＜2

2

，所以，当x=2时，y有最大值10．

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题．射影定理的应用是解决此题的关键，二次函数在解决实际问题中求解最值的常用的方法，属于中档题．