Question

13．已知函数f（x）=mx-m-2lnx（m∈R）．
（1）当m=7时，求曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程；
（2）若f（x）≥0恒成立，证明：当0＜x₁＜x₂时，$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{2}$＞（1-$\frac{1}{{x}_{1}}$）（x₂-x₁）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）根据若f（x）≥0恒成立，讨论m的取值范围，结合函数的单调性证明不等式即可．

解答 解：（1）当m=7时，f（x）=7x-7-2lnx，
导数f′（x）=7-$\frac{2}{x}$，y=f（x）在点（1，0）处的切线斜率为k=5，
即有切线的方程为y=5x-5：
（2）证明：由f′（x）=m-$\frac{2}{x}$，知m≤0，
则f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上递减，
∵f（1）=0，∴f（x）≥0不恒成立，
若m＞2，当x∈（$\frac{2}{m}$，1）时，f（x）单调递增，f（x）＜f（1）=0，不合题意；
若0＜m＜2，当x∈（1，$\frac{2}{m}$）时，f（x）单调递减，f（x）＜f（1）=0，不合题意；
若m=2，当x∈（0，1）上单调递减，f（x）在（1，+∞）单调递增，
f（x）≥f（1）=0，符合题意．
故m=2时，且lnx≤x-1，（当且仅当x=1时取等号），
当0＜x₁＜x₂时，f（x₂）-f（x₁）=2[（x₂-x₁）-ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$]，
∵ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-1，∴f（x₂）-f（x₁）=2[（x₂-x₁）-ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$
＞2[（x₂-x₁）-（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-1）]=2（x₂-x₁）（1-$\frac{1}{{x}_{1}}$），
因此当0＜x₁＜x₂时，$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{2}$＞（1-$\frac{1}{{x}_{1}}$）（x₂-x₁）．

点评 本题主要考查函数导数的运用：求切线的方程和单调区间，以及不等式的证明，注意运用单调性，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．