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已知函数f(x)=x3+x2+(a2-3a)x-2a
(1)如果对任意x∈(1,2],f'(x)>a2恒成立,求实数a的取值范围;
(2)设实数f(x)的两个极值点分别为x1x2判断①x1+x2+a②x12+x22+a2③x13+x23+a3是否为定值?若是定值请求出;若不是定值,请把不是定值的表示为函数g(a)并求出g(a)的最小值;
(3)对于(2)中的g(a),设H(x)=[g(x)-27],m,n∈(0,1)且m≠n,试比较|H(m)-H(n)|与|em-en|(e为自然对数的底)的大小,并证明.
【答案】分析:(1)由已知中函数f(x)=x3+x2+(a2-3a)x-2a,可求出f'(x)的解析式,根据二次函数的图象和性质可得对任意x∈(1,2],f'(x)>a2恒成立时,实数a的取值范围;
(2)由(1)中f'(x)的解析式,可求出x1x2,进而判断出①x1+x2+a②x12+x22+a2③x13+x23+a3是否为定值及函数g(a)的解析式,及g(a)的最小值;
(3)根据(2)中g(a)的解析式,我们可以求出H(x)=[g(x)-27]的解析式,构造函数F(x)=H(x)-ex,利用导数法,可判断出F(x)在区间(0,1)上的单调性,进而判断出当m,n∈(0,1)且m≠n时,|H(m)-H(n)|与|em-en|的大小.
解答:解:(1)∵函数f(x)=x3+x2+(a2-3a)x-2a
∴函数f′(x)=x2+(a-3)x+(a2-3a)
则f′(x)-a2=x2+(a-3)x-3a=(x+a)(x-3)
若对任意x∈(1,2],f'(x)>a2恒成立,
则对任意x∈(1,2],f′(x)-a2>0恒成立
则a<-2.
(2)令f′(x)=0
则x=3或x=-a
则①x1+x2+a=3为定值;
②x12+x22+a2=2a2+9不为定值;
此时g(a)=2a2+9,当a=0时有最小值9;
③x13+x23+a3=27为定值;
(3)∵g(a)=2a2+9,
∴H(x)=[g(x)-27]=(2x2-18),
令F(x)=H(x)-ex=(2x2-18)-ex
则F′(x)=x-ex
当x∈(0,1)时,F′(x)<0恒成立
即F(x)在区间(0,1)上为减函数
当m,n∈(0,1)且m≠n时,不妨令m>n
则F(m)-F(n)=[H(m)-em]-[H(n)-en]<0
即[H(m)-em]<[H(n)-en]
即H(m)-H(m)<em-en
即|H(m)-H(n)|<|em-en|
点评:本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值,函数恒成立问题,导数的运算,其中(1)的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质,(2)的关键是求出f(x)的两个极值点分别为x1x2,(3)的关键是构造函数F(x)=H(x)-ex,并利用导数法判断出F(x)在区间(0,1)上的单调性.
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精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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已知函数f(x)=(
x
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-1)2+(
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,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
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