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7.已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线的焦点,∠MFx=60°且|FM|=4.
(I)求抛物线C的方程;
(II)已知D(-1,0),过F的直线l交抛物线C与A、B两点,以F为圆心的圆F与直线AD相切,试判断圆F与直线BD的位置关系,并证明你的结论.

分析 (I)证明△MNF为等边三角形,即可求抛物线C的方程;
(II)分类讨论,证明F到直线BD的距离等于圆F的半径,即可得出结论.

解答 解:(I)抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为l′:x=-$\frac{p}{2}$,过M作MN⊥l′于点N,连接NF,则|MN|=|FM|,
∵∠NMF=∠MFx=60°,∴△MNF为等边三角形,
∴|NF|=4,∴p=2,
∴抛物线C的方程为y2=4x;
(II)直线l的斜率不存在时,△ABD为等腰三角形,且|AD|=|BD|.
∴圆F与直线BD相切;
直线l的斜率存在时,设方程为y=k(x-1),代入抛物线方程,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1,∴x1=$\frac{1}{{x}_{2}}$,
直线AD的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$(x+1),即y1x-(x1+1)y+y1=0,
∴R2=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+(\frac{1+{x}_{2}}{1-{x}_{2}})^{2}}$,
直线BD的方程为y2x-(x2+1)y+y2=0,
F到直线BD的距离d,d2=$\frac{4{{y}_{2}}^{2}}{{{y}_{2}}^{2}+({x}_{2}+1)^{2}}$=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+(\frac{1+{x}_{2}}{1-{x}_{2}})^{2}}$,
∴R2=d2
∴R=d,
∴圆F与直线BD相切,
综上所述,圆F与直线BD相切.

点评 本题考查抛物线的方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查直线与圆的位置关系,属于中档题.

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