【题目】已知函数
，则函数
的零点个数为（ ）（
是自然对数的底数）
A.6B.5C.4D.3
【答案】B
【解析】
利用导数研究函数
的性质，如单调性，函数值的变化趋势和，函数的极值．再研究方程
的解的个数，即直线
与函数
的公共点的的取值，从而利用函数的性质求得
零点个数．
时，
是增函数，
，
时，
，
，显然
，
由
，
作出
和
的图象，如图，是增函数，
在是减函数
它们有一个交点，设交点横坐标为
，易得
，
，
在
时，
，
，
时，
，
，
所以在
上递减，在
上递增，
是的极小值，也是在时的最小值．
，
，
，即
，
，
时，
，
时，．作出的大致图象，作直线
，如图，时与的图象有两个交点，即
有两个解
，
．
时，，
，由
得
，而时，
，
，所以直线与在
处相切．即时方程有一个解
．
，令
，则
，由上讨论知方程有三个解：
()
而
有一个解，
和
都有两个解，所以
有5个解，
即函数有5个零点．
故选：B．
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【题目】若动点
到两点
的距离之比为
.
（1）求动点的轨迹
的方程；
（2）若
为椭圆
上一点，过点作曲线的切线与椭圆
交于另一点
，求
面积的取值范围（
为坐标原点）.
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【题目】如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体.
若AD＝1，二面角CABD的平面角的正切值为
，求二面角BADE的余弦值.
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【题目】已知函数
的定义域为
且满足
，当
时，
.
（1）判断在
上的单调性并加以证明；
（2）若方程
有实数根
，则称为函数的一个不动点，设正数为函数
的一个不动点，且
，求
的取值范围.
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【题目】设椭圆
（
）的左右顶点为
，上下顶点为
，菱形
的内切圆
的半径为
，椭圆的离心率为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点
满足
，试判断直线
与圆的位置关系，并证明你的结论.
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【题目】在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），在以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
的方程为
.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线与直线交于点
，点
的坐标为（3，1），求
.
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【题目】如图，以正四棱锥VABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC的中点．正四棱锥的底面边长为2a，高为h，且有cos〈
，
〉＝－
.
（1）求
的值；
（2）求二面角B-VC-D的余弦值．
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【题目】已知四面体有五条棱长为3，且外接球半径为2.动点P在四面体的内部或表面，P到四个面的距离之和记为s.已知动点P在
，
两处时，s分别取得最小值和最大值，则线段
长度的最小值为______.
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