Question

10．已知抛物线y²=4x，过定点A（-2，1）的直线l的斜率为k，下列情况下分别求k的取值范围：
（1）l与抛物线有且仅有一个公共点；
（2）l与抛物线恰有两个公共点；
（3）l与抛物线没有公共点．

Answer 1

分析 由题意可得直线l的方程为y-1=k（x+2），讨论当k=0时，当k≠0时，联立抛物线方程，消去x并整理，由判别式等于0，大于0，小于0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：由题意可得直线l的方程为y-1=k（x+2），
当k=0时，直线l的方程为y=1，直线l与抛物线C有一个交点；
当k≠0时，直线与抛物线联立，消去x并整理，得ky²-4y+8k+4=0．
判别式△=（-4）²-4k（8k+4）=-16（k+1）（2k-1），
由△=0，得k=-1或k=$\frac{1}{2}$；由△＞0，得-1$＜k＜\frac{1}{2}$．
所以，（1）恰好有一个公共点时，k的相应取值范围是{-1，0，$\frac{1}{2}$}；
（2）恰好有两个公共点时，k的相应取值范围是{x|-1＜k＜$\frac{1}{2}$且k≠0}；
（3）没有公共点时，k的相应取值范围是{x|x＜-1，或x＞$\frac{1}{2}$}．

点评 本题主要考查了由直线与抛物线的位置关系的求解参数的取值范围，考查学生的计算能力，属于中档题．