Question

【题目】已知f（x）是定义在区间（0，+∞）内的单调函数，且对x∈（0，∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，设f′（x）为f（x）的导函数，则函数g（x）=f（x）﹣f′（x）的零点个数为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】B
【解析】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1， 又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）﹣lnx为定值，
设t=f（x）﹣lnx，
则f（x）=lnx+t，
又由f（t）=e+1，
即lnt+t=e+1，
解得：t=e，
则f（x）=lnx+e，f′（x）= ＞0，
故g（x）=lnx+e﹣ ，则g′（x）= + ＞0，
故g（x）在（0，+∞）递增，
而g（1）=e﹣1＞0，g（ ）=﹣1＜0，
存在x0∈（ ，1），使得g（x0）=0，
故函数g（x）有且只有1个零点，
故选：B．
由设t=f（x）﹣lnx，则f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，求出f（x）=lnx+e，从而求出g（x）的解析式，根据函数的单调性求出函数的零点的个数即可．