Question

9．若点A（0，-1），点B在直线y=-3上，点M满足，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{MB}$∥$\overrightarrow{OA}$，点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）点P为曲线C上的动点，直线l为曲线C在点P处的切线，求O到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，-3），A（0，-1）并代入$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{MB}$∥$\overrightarrow{OA}$，即可求得M点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得O点到l距离，然后利用基本不等式求出其最小值．

解答 解：（Ⅰ）设点M（x，y），∵$\overrightarrow{MB}$∥$\overrightarrow{OA}$，∴B（x，-3），
∴$\overrightarrow{MA}=（-x，-1-y）$，$\overrightarrow{MB}=（0，-3-y）$，$\overrightarrow{AB}=（x，-2）$，
∴$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=（-x，-4-2y）$，
∵$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{BA}$，
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{AB}$
=（$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$）•$\overrightarrow{AB}$=0，
∴（-x，-4-2y）•（x，-2）=0，
即为-x²+2（4+2y）=0，即有$y=\frac{1}{4}{x^2}-2$，
∴曲线C的方程 $y=\frac{1}{4}{x^2}-2$；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），∵$y=\frac{1}{4}{x^2}-2$，
∴${y^/}=\frac{1}{2}x$，$k=\frac{1}{2}{x_0}$，
∴l：$y-{y_0}=\frac{1}{2}{x_0}（x-{x_0}）$，即${x_0}x-2y+2{y_0}-x_0^2=0$，
∴O到直线l的距离$d=\frac{{|2{y_0}-{x_0}^2|}}{{\sqrt{{x_0}^2+4}}}$=$\frac{{\frac{1}{2}{x_0}^2+4}}{{\sqrt{{x_0}^2+4}}}$=$\frac{1}{2}（\frac{4}{{\sqrt{{x_0}^2+4}}}+\sqrt{x_0^2+4}）$，
∵$\frac{4}{{\sqrt{{x_0}^2+4}}}+\sqrt{x_0^2+4}≥4$，d≥2，
∴当且仅当x₀=0时，d_min=2．

点评 此题是个中档题．考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．