Question

2．如图所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长与侧棱长均为2，D为AC中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁DB；
（2）求直线BD与平面A₁BC₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AB₁，交A₁B于点O，由三角形中位线定理得OD∥B₁C，由此能证明B₁C∥平面A₁DB．
（2）取A₁C₁中点E，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出直线BD与平面A₁BC₁所成的角的正弦值．

解答 证明：（1）连结AB₁，交A₁B于点O，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，ABB₁A₁是矩形，
∴O是AB₁中点，
∵D为AC中点，∴OD∥B₁C，
∵OD?平面A₁DB，B₁C?平面A₁DB，
∴B₁C∥平面A₁DB．
解：（2）取A₁C₁中点E，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长与侧棱长均为2，D为AC中点，
∴B（0，$\sqrt{3}$，0），D（0，0，0），A₁（-1，0，2），C₁（1，0，2），
$\overrightarrow{BD}$=（0，-$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（-1，-$\sqrt{3}$，2），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（1，-$\sqrt{3}$，2），
设平面A₁BC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=-x-\sqrt{3}y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=x-\sqrt{3}y+2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，2$\sqrt{3}$，3），
设直线BD与平面A₁BC₁所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BD}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-6}{\sqrt{3}×\sqrt{21}}$|=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$
∴直线BD与平面A₁BC₁所成的角的正弦值为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．