Question

已知函数f(x)=

1- 1 x    x≥1 1 x -1   0＜x＜1.

（I）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求

1

a

+

1

b

的值；
（II）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．0＜a＜b，且f（a）=f（b），推得0＜a＜1＜b，
  从而分别求得f（a），f（b），根据其关系得到结论．
（II）先假设存在满足条件的实数a，b，由于f（x）是分段函数，则分当a，b∈（0，1）2时，a，b∈[1，+∞）
   a∈（0，1），b∈[1，+∞）时三种情况分析．

解答：解：（I）∵f(x)=

1- 1 x ，x≥1 1 x -1 ，0＜x＜1.

∴f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．
由0＜a＜b，且f（a）=f（b），可得0＜a＜1＜b且

1

a

-1=1-

1

b

．所以

1

a

+

1

b

=2．
（II）不存在满足条件的实数a，b．
若存在满足条件的实数a，b，则0＜a＜b
当a，b∈（0，1）时，f(x)=

1

x

-1在（0，1）上为减函数．
故

f(a)=b f(b)=a.

即

1 a -1=b 1 b -1=a.

解得a=b．
故此时不存在适合条件的实数a，b．
当a，b∈[1，+∞）时，f(x)=1-

1

x

在（1，+∞）上是增函数．
故

f(a)=a f(b)=b.

即

1- 1 a =a 1- 1 b =b.

此时a，b是方程x²-x+1=0的根，此方程无实根．
故此时不存在适合条件的实数a，b．
当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，由于1∈[a，b]，而f（1）=0∉[a，b]，
故此时不存在适合条件的实数a，b．
综上可知，不存在适合条件的实数a，b．

点评：本题主要考查分段函数在的单调性、定义域和值域，同时还考查学生的分类讨论解决问题的能力．