Question

【题目】已知函数，其中.

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：在区间上只有唯一的零点.

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）证明过程见详解.

【解析】

（1）先对函数求导，得到，先讨论，得到函数恒增，再讨论，两种情况，利用导数的方法，解对应不等式，即可得出结果；

（2）先由（1），得到当时，以及时，函数在区间上都是单调递增的，再由，即可得出结论成立.

（1）因为，所以，

当时，，此时在单调递增；

当时，，

①当时，，恒成立，

恒成立，此时在上单调递增；

②当时，令

由得或；

由得；

所以在和上单调递增；

在上单调递减；

综上：当时，在单调递增；

当时，在和上单调递增；

在上单调递减；

（2）由（1）知，当时，在单调避增，，

此时在区间上有一个零点；

当时，且，

在单调递增；，此时在区间上有一个零点；

综上可知，在区间上只有唯一的零点