Question

【题目】已知函数（是自然对数的底数），在处的切线方程是．　

（1）求实数， 的值；

（2）若对任意的， 恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）， ．（2）

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，分别求出和，由切线方程可求得实数， 的值；（2）由（1）得，对任意的， 恒成立转化为任意的， 恒成立，令，对进行讨论，求出的最小值，即可求得实数的取值范围．

试题解析：（1）

依题意得在处的切线斜率为，①

，②

联立①②解得， ．

（2）由（1）得，

由任意的， 恒成立，

可知任意的， 恒成立，

令，

①当时， ，

，

令，

∵和在上都单调递增， 在上单调递增，

∴，∴ ，

∴在上单调递增；

②当时， ，

则 ，

当时， ， ，∴，即，

∴在上单调递减，

综上可知， 在处取得最小值，

故，即的取值范围是．