Question

某市的一农报刊摊点，每天以每份0.20元的价格从报社买进若干《晚报》，然后以每份0.30元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸可以以每份0.05元价格退回报社．
（1）若此报刊摊点一天购进300份报纸，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：份，n∈N）的函数解析式；
（2）若在一个月（以30天计）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同．设这个摊主每天从报社买进x（250≤x≤400）份报纸，问他一个月最多可赚得多少元？

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件即可建立函数关系．
（2）设每天从报社买进x（250≤x≤400，x∈N₊）份，则每月共可销售（20x+10×250）份，每份可获利润0.10元，退回报社10（x-250）份，每份亏损0.15元，建立月纯利润函数f（x），再求f（x）的最大值，可得一个月的最大利润．

解答： 解：（1）根据题意卖出一份报纸获利0.1元，若不能卖出，退回一份报纸损失0.15元，
若当天需求量为n，
则当天的利润y=0.1n-0.15（300-n）=0.25n-45．
（2）设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，
则依题意，每月共可销售（20x+10×250）份，每份可获利润0.10元，退回报社10（x-250）份，每份亏损0.15元，
∴纯利润函数f（x）=0.10（20x+10×250）-0.15×10（x-250）=0.5x+625，x∈[250，400]．
∵函数f（x）在[250，400]上单调递增，
∴x=400时，y_max=825（元）．
即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元．

点评：本题考查的重点是函数模型的构建，考查利用一次函数求解实际问题，把复杂的实际问题转化成数学问题．利用一次函数的单调性，确定最大利润是解题的关键．