Question

数列{a_n}中，满足a₁=x，a₂=y．且a_n+1=a_n-a_n-1，则a₂₀₀₇=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题通过条件中的递推关系进行计算，得到结论a₇=a₁，a₈=a₂，从而发现数列{a_n}的周期为6，得到a₂₀₀₇=a₃=y-x，得到本题结论．

解答： 解：∵a₁=x，a₂=y，且a_n+1=a_n-a_n-1，
∴a₃=a₂-a₁=y-x，
a₄=a₃-a₂=（y-xy）-y=-x，
a₅=a₄-a₃=-x-（y-x）=-y，
a₆=a₅-a₄=-y-（-x）=x-y，
∴a₇=a₆-a₅=x-y-（-y）=x，
a₈=a₇-a₆=x-（x-y）=y，
…
∴a₇=a₁，
a₈=a₂．
…
∴数列{a_n}的周期为6．
∵2007=334×6+3，
∴a₂₀₀₇=a₃=y-x．
故答案为：y-x．

点评：本题考查了数列的周期性，同时考查了学生的计算能力和发现能力，本题有一定的思维技巧，总体难度不大，属于好题．