Question

（本小题满分12分）已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）若恒成立，求实数的值.

Answer 1

（1）函数的减区间为,增区间为,极小值为,无极大值；（2）.

试题分析：本题综合考察函数与导数及运用导数求单调区间、极值、最值等数学知识和方法，突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力.第一问，将代入，先得到的表达式，注意到定义域中，对求导，根据，判断出的单调增区间，，判断出的单调减区间，通过单调性判断出极值的位置，求出极值；第二问，先将恒成立转化为恒成立，所以整个这一问只需证明即可，对求导，由于，所以须讨论的正负，当时，，所以判断出在上为增函数，但是，所以当时，不符合题意，当时，判断出在上为减函数，上为增函数，但是，必须证明出，所以再构造新函数，判断函数的最值，只有时符合.
试题解析：⑴解:注意到函数的定义域为,
,
当时, ,            2分
若,则;若,则.
所以是上的减函数,是上的增函数,
故,
故函数的减区间为,增区间为,极小值为,无极大值.---5分
⑵解:由⑴知,
当时,对恒成立,所以是上的增函数,
注意到,所以时,不合题意.    7分
当时,若,;若,.
所以是上的减函数,是上的增函数,
故只需.      9分
令,
,
当时,; 当时,.
所以是上的增函数,是上的减函数.
故当且仅当时等号成立.
所以当且仅当时,成立,即为所求.    12分