【题目】已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴,且抛物线上点P(2,m)到焦点的距离为3,斜率为2的直线L与抛物线相交于A,B两点且|AB|=3 ,求抛物线和直线L的方程.
【答案】解:∵抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,
抛物线C上的点M(2,m)到焦点F的距离为3,
∴设抛物线的方程为y2=2px(p>0),
M到准线的距离为3,即 +2=3,解得p=2,
∴抛物线C的方程为y2=4x.
设直线l的方程为y=2x+b,A(x1 , y1),B(x2 , y2),
由直线与抛物线联立,可得4x2+(4b﹣4)x+b2=0,
∴x1+x2=1﹣b,x1x2= ,
∴|AB|= =3 ,
∴b=﹣2,
∴直线L的方程是y=2x﹣2
【解析】由已知条件设抛物线的方程为y2=2px(p>0),且 +2=3,由此能求出抛物线C的方程;设直线l的方程为y=2x+b,A(x1 , y1),B(x2 , y2),由直线与抛物线联立,可得4x2+(4b﹣4)x+b2=0,由此利用弦长公式能求出直线l的方程.
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【题目】已知直线l的方程为(2﹣m)x+(2m+1)y+3m+4=0,其中m∈R.
(1)求证:直线l恒过定点;
(2)当m变化时,求点P(3,1)到直线l的距离的最大值;
(3)若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点,求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程.
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【题目】如图,将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折,连接AC、FD,形成如图所示的多面体,且,(1)证明:平面ABEF平面BCDE; (2)求DE与平面ABC所成角的正弦值。
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【题目】已知函数, .
(1)若曲线与在公共点处有相同的切线,求实数的值;
(2)当时,若曲线与在公共点处有相同的切线,求证:点唯一;
(3)若, ,且曲线与总存在公切线,求:正实数的最小值.
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【题目】已知函数, .
(1)当时,求函数的最小值;
(2)当时,讨论函数的单调性;
(3)是否存在实数,对任意的, ,且,有恒成立,若存在求出的取值范围,若不存在,说明理由.
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【题目】从一批有10个合格品与3个次品的产品中,一件一件地抽取产品,设各个产品被抽取到的可能性相同.在下列三种情况下,分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数x的分布列.
(1)每次取出的产品都不放回此批产品中;
(2)每次取出的产品都立即放回此批产品中,然后再取出一件产品;
(3)每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中.
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