Question

已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F₂（3，0），离心率为．
（1）求椭圆的方程．
（2）设直线y-kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF₂，BF₂的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意得，解得a，再结合a²=b²+c²，可求得b²，从而可得椭圆的方程；
（2）由椭圆的方程与直线的方程y=kx联立，得（3+12k²）x²-12×3=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），=（x₁-3，y₁），=（x₂-3，y₂），依题意，AF₂⊥BF₂，由•=0即可求得k的值．
解答：解：（1）由题意得，得a=2．  …（2分）
结合a²=b²+c²，解得a²=12，b²=3．…（4分）
所以，椭圆的方程为+=1．        …（6分）
（2）由，得（3+12k²）x²-12×3=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=0，x₁x₂=-，…（10分）
依题意，OM⊥ON，
易知，四边形OMF₂N为平行四边形，所以AF₂⊥BF₂，…（12分）
因为=（x₁-3，y₁），=（x₂-3，y₂），
所以•=（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+9=0，
即+9=0，
解得k=±．…（15分）
点评：本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，属于难题．