Question

6．已知函数f（x）=（|x-1|-a）²+2x，a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）在[-2，2]上的值域；
（2）求函数f（x）在[0，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，分当-2≤x≤1时与当1＜x≤2时讨论y的取值，从而确定值域；
（2）由题意可化简f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2ax+（1-a）^{2}，0≤x≤1}\\{{x}^{2}-2ax+（1+a）^{2}，x＞1}\end{array}\right.$，从而根据对称轴及区间分四种情况讨论即可．

解答 解：（1）当a=1时，
当-2≤x≤1时，f（x）=x²+2x，
故-1≤f（x）≤3；
当1＜x≤2时，f（x）=x²-2x+4，
故3＜f（x）≤4；
故函数f（x）在[-2，2]上的值域为[-1，4]．
（2）由题意得，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2ax+（1-a）^{2}，0≤x≤1}\\{{x}^{2}-2ax+（1+a）^{2}，x＞1}\end{array}\right.$，
①当a≤-1时，-a≥1；
故f（x）在[0，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
故f_min（x）=f（1）=a²+2；
②当-1＜a＜0时，0＜-a＜1，
故f（x）在[0，-a]上是减函数，在（-a，+∞）上是增函数，
故f_min（x）=f（-a）=1-2a；
③当0≤a≤1时，-1≤-a≤0，
故f（x）在[0，+∞）上是增函数，
故f_min（x）=f（0）=（1-a）²；
④当a＞1时，-a＜-1；
故f（x）在[0，1）上是增函数，在（1，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，
而f（0）=（1-a）²，f（a）=2a+1，
故当（1-a）²≥2a+1，即a≥4时，
f_min（x）=f（a）=2a+1，
当1＜a＜4时，
f_min（x）=f（0）=（1-a）²；
综上所述，
当a≤-1时，f_min（x）=a²+2；
当-1＜a＜0时，f_min（x）=1-2a；
当0≤a≤4时，f_min（x）=（1-a）²；
当a＞4时，f_min（x）=2a+1．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及分段函数的应用，属于难题．