Question

设α、β都是锐角，且cosα=

5

5

，sin（α+β）=

3

5

，则cosβ（　　）

• A．

  2 5

  25

• B．

  2 5

  5

• C．

  2 5

  25

  或

  2 5

  5

• D．

  2 5

  5

  或

  2 5

  25

Answer 1

分析：由α、β都是锐角，且cosα值小于

1

2

，得到sinα大于0，利用余弦函数的图象与性质得出α的范围，再由sin（α+β）的值大于

1

2

，利用正弦函数的图象与性质得出α+β为钝角，可得出cos（α+β）小于0，然后利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinα和cos（α+β）的值，将所求式子中的角β变形为（α+β）-α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入即可求出值．

解答：解：∵α、β都是锐角，且cosα=

5

5

＜

1

2

，
∴

π

3

＜α＜

π

2

，又sin（α+β）=

3

5

＞

1

2

，
∴

π

2

＜α+β＜π，
∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

4

5

，sinα=

1-cos2α

=

2 5

5

，
则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-

4

5

×

5

5

+

3

5

×

2 5

5

=

2 5

25

．
故选A

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦函数的图象与性质，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．