【题目】定义：如果数列
的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列，对于“三角形”数列，如果函数
使得
仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”，
.
（1）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若
是数列的“保三角形函数”，求
的取值范围；
（2）已知数列
的首项为2010，
是数列的前
项和，且满足
，证明是“三角形”数列；
（3）根据“保三角形函数的定义，对函数
，和数列1，
提出一个正确的命题，并说明理由.
【答案】（1）
（2）证明见解析；（3）详见解析
【解析】
（1）求出
的通项公式根据定义推出是三角形数列，再由
的单调性及
列出关于k的不等式求解即可；（2）由
与
的关系由所给等式求出
的通项公式，利用指数函数的单调性推出数列的单调性，因此证明
即可证明是“三角形”数列；（3）函数
是数列1，
的“保三角形函数”，列出此结论所需条件求出k的范围.
（1）显然
对任意正整数都成立，
即是三角形数列且是递增数列，
因为
，函数
单调递增，所以
，
由，得
，
，解得
.
所以当时，
是数列的“保三角形函数”；
（2）当
时，由
，得
，
两式相减，得
，所以，
，
又
也满足上式，所以
.
显然
，因为
，所以是“三角形”数列；
（3）探究过程：函数是数列1，的“保三角形函数”，必须满足三个条件：
①1，是三角形数列，所以
，即
；
②数列中的各项必须在定义域内，即
；
③
是“三角形”数列.
由于是单调递减函数，所以
，化简得
，解得
.
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、
、
三站，
，
，在列车运行时刻表上，规定列车
时整从站出发，时
分到达站并停车
，时
分到达站，在实际运行时，假设列车从站正点出发，在站停留，并在行驶时以同一速度
匀速行驶，列车从站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差.
（1）分别写出列车在、两站的运行误差；
（2）若要求列车在、两站的运行误差之和不超过
，求
的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系
中，已知曲线
的参数方程为
为参数），以坐标原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．曲线
的极坐标方程为
，曲线与曲线的交线为直线
．
（1）求直线和曲线的直角坐标方程；
（2）直线与轴交于点
，与曲线相交于
，
两点，求
的值．
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