Question

8．设函数$f（x）=\frac{x^2}{2}-klnx$，k∈R
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：当k＞0时，若f（x）存在零点，则f（x）在区间$（{1，\sqrt{e}}]$上仅有一个零点．

Answer 1

分析 （1）由解析式求出定义域和f′（x），化简后对k进行分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，分别求出函数的增区间、减区间；
（2）由（1）求函数的最小值，由条件列出不等式求出k的范围，对k进行分类讨论，并分别判断在区间$（{1，\sqrt{e}}]$上的单调性，求出f（1）和f（$\sqrt{e}$）、判断出符号，即可证明结论．

解答 解：（1）由$f（x）=\frac{{x}^{2}}{2}-klnx$得，函数的定义域是（0，+∞），
$f′（x）=x-\frac{k}{x}$=$\frac{{x}^{2}-k}{x}$；
①当k≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
此时f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；
②当k＞0时，由f′（x）=0得x=$\sqrt{k}$或x=-$\sqrt{k}$（舍去），
当$x＞\sqrt{k}$时，f′（x）＞0，
当$0＜x＜\sqrt{k}$时，令f′（x）＜0，
所以f（x）的递减区间是（0，$\sqrt{k}$），递增区间是（$\sqrt{k}，+∞$）；…（6分）
证明：（2）由（1）知，当k＞0时，f（x）在（0，+∞）上的最小值为
f（$\sqrt{k}$）=$\frac{k}{2}-k•ln\sqrt{k}$=$\frac{k（1-lnk）}{2}$．
因为f（x）存在零点，所以$\frac{k（1-lnk）}{2}≤0$，解得k≥e．
当k=e时，f（x）在（1，$\sqrt{e}$）上递减，且f（$\sqrt{e}$）=0，
所以x=$\sqrt{e}$是f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上的唯一零点．
当k＞e时，f（x）在（0，$\sqrt{e}$）上单调递减，
且f（1）=$\frac{1}{2}＞$0，f（$\sqrt{e}$）=$\frac{e-k}{2}$＜0，
所以f（x）在区间（1，$\sqrt{e}$]上仅有一个零点．
综上可知，若f（x）存在零点，则f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上仅有一个零点…（12分）

点评 本题考查求导公式、法则，导数与函数单调性的关系，以及函数零点的转化，考查分类讨论思想，化简、变形能力，属于中档题．