Question

（2013•杭州模拟）设圆C：（x-5）²+（y-3）²=5，过圆心C作直线l与圆交于A，B两点，与x轴交于P点，若A恰为线段BP的中点，则直线l的方程为（　　）

A．x-3y+4=0，x+3y-14=0

B．2x-y-7=0，2x+y-13=0

C．x-2y+1=0，x+2y-11=0

D．3x-y-12=0，3x+y-18=0

Answer 1

分析：由题意可设直线l的方程为y-3=k（x-5），P（0，3-5k），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y-3=k(x-5) (x-5)2+(y-3)2=5

，然后由方程的根与系数关系可得，x₁+x₂，x₁x₂，由A为BP的中点可得x₂=2x₁，联立可求x₁，x₂，进而可求k，即可求解直线方程．

解答：解：∵圆C：（x-5）²+（y-3）²=5，∴C（5，3），
∵过圆心C作直线l与圆交于A，B两点，
∴设直线l的方程为y-3=k（x-5），
令y=0，得x=5-

3

k

，即P（5-

3

k

，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立

y-3=k(x-5) (x-5)2+(y-3)2=5

，消去x可得（1+

1

k2

）y²-6（1+

1

k2

）x+

9

k2

+4=0，
由方程的根与系数关系可得，y₁+y₂=6，y₁y₂=

9 k2 +4

1 k2 +1

=

9+4k2

1+k2

，①
∵A为BP的中点
∴

0+y2

2

=y₁，即y₂=2y₁，②
把②代入①可得y₂=4，y₁=2，y₁y₂=

9+4k2

1+k2

=8，
∴k=±

1

2

，
∴直线l的方程为y-3=±

1

2

（x-5），
即x-2y+1=0，或x+2y-11=0．
故选C．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，方程的根与系数关系的应用，体现了方程的数学思想，属于中档题．