Question

设定义在R上的函数（a₀，a₁，a₂，a₃∈R），当x=-1时，f（x）取极大值，且函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）试在函数y=f（x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在上；
（Ⅲ）设，，求证：．

Answer 1

（Ⅰ）解：由f（x）的图象关于点（0，0）对称，即f（x）是奇函数，所以．
由题意当x=-1时，f（x）取极大值，得，所以，．
所以，所求．…（4分）
（ II）解：f'（x）=x²-1．设所求两点为（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），x₁，x₂∈[，得
因为，所以或
即x₁=0，x₂=±或x₁=，x₂=0
从而可得所求两点的坐标为：（0，0），或者（0，0），．…（8分）
（III）证明：，当时，f'（x）＜0，即在上递减，得，即．
∵，由导数可得，即，
所以…（12分）
分析：（Ⅰ）由f（x）的图象关于点（0，0）对称，即f（x）是奇函数，可得，根据当x=-1时，f（x）取极大值，建立方程组，即可求得函数的不等式；
（ II）设所求两点为（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），x₁，x₂∈[，利用两点为切点的切线互相垂直即可求得点的坐标；
（III）确定f（y_m）的最大值，f（x_n）的最小值，即可证得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的最值，考查不等式的证明，正确求导，确定函数的最值是关键．