Question

【题目】已知球的直径，是该球球面上的两点，，，则棱锥的体积为_______.

Answer 1

【答案】

【解析】

设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD，说明SC是球的直径，利用余弦定理，三角形的面积公式求出S△SCD，和棱锥的高AB，即可求出棱锥的体积．

：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD．因为线段SC是球的直径，

所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90°

所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30° 得：AC=2，SA=2

又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30° 得：BC=2，SB=2 则：SA=SB，AC=BC

因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD===

在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD===

又SD交CD于点D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱锥S﹣ABC的体积：V=ABS△SCD，

因为：SD=，CD=，SC=4 所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD2+CD2﹣SC2）=（+﹣16）==

则：sin∠SDC==

由三角形面积公式得△SCD的面积S=SDCDsin∠SDC==3

所以：棱锥S﹣ABC的体积：V=ABS△SCD==

故答案为：．