Question

下列说法中，正确的有

 

（把所有正确的序号都填上）．
①“?x∈R，使2^x＞3”的否定是“?x∈R，使2^x≤3”；
②函数y=sin（2x+

π

3

）sin（

π

6

-2x）的最小正周期是π；
③命题“函数f（x）在x=x₀处有极值，则f′（x）=0”的否命题是真命题；
④函数f（x）=2^x-x²的零点有2个．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：写出原命题的否定，可判断①；利用诱导公式和倍角公式化简函数的解析式，进而求出周期可判断②；写出原命题的否命题，可判断③；确定函数f（x）=2^x-x²的零点个数，可判断④．

解答： 解：对于①“?x∈R，使2^x＞3“的否定是“?x∈R，使2^x≤3”，满足特称命题的否定是全称命题的形式，所以①正确；
对于②，函数y=sin（2x+

π

3

）sin（

π

6

-2x）=

1

2

sin（4x+

2π

3

），函数的最小正周期T=

2π

4

=

π

2

，所以②不正确；
对于③，命题“函数f（x）在x=x₀处有极值，则f'（x₀）=0”的否命题是：若函数f（x）在x=x₀处没极值，f'（x₀）≠0，则显然不正确．例如f（x）=x³，x=0不是函数的极值点，但x=0时，导数为0，所以③不正确；
对于④，由题意可知：要研究函数f（x）=x²-2^x的零点个数，只需研究函数y=2^x，y=x²的图象交点个数即可．画出函数y=2^x，y=x²的图象，

由图象可得有3个交点．所以④不正确；
故正确的命题只有：①，
故答案为：①

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了特称命题的否定，函数的周期性，取最值的条件，函数零点等知识点，难度中档．