Question

18．双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的两个焦点为F₁、F₂，点P在双曲线上，△F₁PF₂的面积为$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$等于2．

Answer 1

分析 先根据面积可以求出P点的纵坐标，然后求出P点的横坐标，直接用向量相乘就可以得出结论．

解答 解：设P点的纵坐标为h，则
∵△F₁PF₂的面积为$\sqrt{3}$，|F₁F₂|=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×h$=$\sqrt{3}$，
∴P点的纵坐标为$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1可得x=±$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
不妨取P（$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，$\frac{\sqrt{15}}{5}$），则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{5}$-$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，0-$\frac{\sqrt{15}}{5}$）•（$\sqrt{5}$-$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，0-$\frac{\sqrt{15}}{5}$）=2，
故答案为：2．

点评 本题考查双曲线的方程，考查向量知识的运用，确定P的坐标是关键．