Question

18．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，a=10，$b=5\sqrt{7}$，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则c=（　　）

• A． 15
• B． 5
• C． 3
• D． 25

Answer 1

分析 先根据等差数列的性质，以及正弦定理和两角和的正弦公式求出B=60°，再根据余弦定理即可求出c的值．

解答 解、∵acosC、bcosB、ccosA成等差数列，
∴2bcosB=acosC+ccosA，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，
即2sinBcosB=sin（A+C）=sinB，
∵A，B，C为△ABC的内角，
∴sinB≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∴B=60°，
由余弦定理，可得b²=a²+c²-2accosB，a=10，$b=5\sqrt{7}$，
∴c²-10c-15=0，
解得c=15，
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的性质，正弦定理和余弦定理，两角和的正弦公式，属于中档题．